सदिश $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश पर सदिश $2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ के प्रक्षेप का परिमाण क्या है?

यदि $A(3, 1, -1)$,$B\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{1}{3}\right)$,$C(2, 2, 1)$ और $D\left(\frac{10}{3}, \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}\right)$ एक चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष हैं,तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ तीन इकाई सदिश हैं,जिनमें से सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ समांतर नहीं हैं। यदि $\alpha$ और $\beta$ वे कोण हैं जो सदिश $\vec{a}$ क्रमशः सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ बनाता है और $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{1}{2} \vec{b}$ है,तो $|\alpha - \beta|$ का मान .............. $^o$ है।

यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन समतलीय सदिश इस प्रकार हैं कि $|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=2, \bar{b} \cdot \bar{c}=8$ और $\bar{b}$ तथा $\bar{c}$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,तो $|\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c})|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\triangle ABC$ के शीर्ष $A=(2,3,5)$,$B=(-1,3,2)$ और $C=(3,5,-2)$ हैं,तो $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

यदि $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = 7\hat{i} + 9\hat{j} + 11\hat{k}$ है,तो $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ विकर्णों वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।